大家好，我是善士，公主号：「善士笔记」主理人。
很赚钱，但也很辛苦。
我和父母一起经营烧饼摊已经有将近十年了。
最初的时候并不盈利，每个烧饼只卖一元，而且冬天需要两次和面，第一次是凌晨3点钟，设好闹钟，起床和面；第二次是晚上回家后，用一个大塑料盆，一次和面就是一盆，我曾经试过一次性和面，累得腰酸。
克莱因瓶是一个无法定向的二维紧流形，而球面或轮胎面则是可以定向的二维紧流形。观察克莱因瓶会让人感到困惑——克莱因瓶的瓶颈和瓶身相交，换句话说，瓶颈上的某些点和瓶壁上的某些点占据了三维空间中的同一个位置。我们可以通过将克莱因瓶放在四维空间中来理解它：克莱因瓶是一种只有在四维空间中才能真正展现的曲面。如果我们非要将其展示在我们生活的三维空间中，我们只能勉强接受它似乎和自身相交的表现方式。克莱因瓶的瓶颈是通过穿过第四维空间与瓶底相连的，而不是穿过瓶壁。
可以用一个扭结来类比，如果将其视为平面上的曲线，那么它似乎在自身上相交，但仔细一看又似乎断成了三截。然而，我们很容易理解，这个图形实际上是三维空间中的曲线，它并没有与自身相交，而是连续不断的一条曲线。在平面上，一条曲线无法做到这一点，但如果引入第三维，它就可以通过穿过第三维来避免与自身相交。只是因为我们需要将其绘制在二维平面上，所以不得不勉强将其绘制成相交或断裂的样子。克莱因瓶也是如此，我们可以将其理解为存在于四维空间中的曲面。在我们所处的三维空间中，即使是最出色的工匠也只能将其制作成与自身相交的样子；就像最优秀的画家在纸上画扭结时不得不将其绘制成与自身相交的样子一样。有趣的是，如果沿着克莱因瓶的对称线将其切开，会得到两个莫比乌斯环。
在二维空间中，这个环看起来似乎穿过了自身。如果莫比乌斯带能够完美展现一个“二维空间中一维可无限扩展的空间模型”，那么克莱因瓶只能作为一个“三维空间中二维可无限扩展的空间模型”的参考。因为制作莫比乌斯带时，我们需要将纸带进行180°翻转并首尾相连，这是一个三维空间下的操作。理想中的“三维空间中二维可无限扩展的空间模型”应该是在二维平面上，可以向任意方向前进并回到原点，而克莱因瓶虽然在二维平面上可以无限制地向任意方向前进，但只有在两个特定的方向上才会回到原点，并且在回到原点之前会经过一个“逆向原点”。真正理想的“三维空间中二维可无限扩展的空间模型”应该是在二维平面上朝任何方向前进都可以回到原点。
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